Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{4}} - \frac{5}{x^{2}})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x^{4}} - \frac{5}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{4}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$- (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.6.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.8

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.1

Mueve $x^{3}$ .

$- (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.8.3

Resta $8$ de $3$ .

$- (- 4 x^{- 5}) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.9

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 x^{- 5} + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{1}{x^{4}}$ por $0$ .

$4 x^{- 5} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 2.11

Suma $4 x^{- 5}$ y $0$ .

$4 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x^{- 5} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x^{- 5} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$4 x^{- 5} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 x^{- 5} - 5 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$4 x^{- 5} - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{- 5} - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{- 5} - 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 x^{- 5} - 5 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x^{- 5} - 5 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{- 5} - 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{- 5} - 5 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 3.9

Resta $4$ de $1$ .

$4 x^{- 5} - 5 (- 2 x^{- 3})$

Paso 3.10

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$4 x^{- 5} + 10 x^{- 3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{x^{5}} + 10 x^{- 3}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{x^{5}} + 10 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{4}{x^{5}} + 10 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 4.3.2

Combina $10$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{4}{x^{5}} + \frac{10}{x^{3}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{10}{x^{3}} + \frac{4}{x^{5}}$