Cálculo Ejemplos

$\frac{5}{x^{3}} + 3 \sqrt[4]{y} = 18$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{y}$ como $y^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}} = 18$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}) = \frac{d}{d x} (18)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$5 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$5 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y')$

Paso 3.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y')$

Paso 3.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y')$

Paso 3.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y')$

Paso 3.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y')$

Paso 3.3.7.2

Resta $4$ de $1$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y')$

Paso 3.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y')$

Paso 3.3.9

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y')$

Paso 3.3.10

Combina $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ y $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Paso 3.3.11

Mueve $y^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Paso 3.3.12

Combina $3$ y $\frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 15$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Suma $\frac{15}{x^{4}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = \frac{15}{x^{4}}$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.1.1.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 6.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 y' = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica $\frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 y' = 4 \frac{15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.3.2.1.2

Multiplica $4 \frac{15}{x^{4}}$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1

Combina $4$ y $\frac{15}{x^{4}}$ .

$3 y' = \frac{4 \cdot 15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $15$ .

$3 y' = \frac{60}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.3.2.1.3

Combina $\frac{60}{x^{4}}$ y $y^{\frac{3}{4}}$ .

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Paso 6.4

Divide cada término en $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.4.3.2

Combinar.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4} \cdot 3}$

Paso 6.4.3.3

Factoriza $3$ de $60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{x^{4} \cdot 3}$

Paso 6.4.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.3.4.1

Factoriza $3$ de $x^{4} \cdot 3$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Paso 6.4.3.4.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Paso 6.4.3.4.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4}}$

Paso 6.4.3.5

Multiplica $20$ por $1$ .

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$