Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$

Paso 1

Reescribe $\sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 2.1.2

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 2.1.3

Como el exponente $\frac{x}{2}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{\frac{x}{2}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Paso 2.3.10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.3.10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Paso 2.3.10.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Paso 2.3.10.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Paso 2.3.11

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

Paso 2.3.14

Multiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 2.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 2.7.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 2.8

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Paso 2.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}} \sqrt{x}}$

Paso 2.9.2

Mueve $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Paso 2.9.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Paso 2.9.4

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Paso 2.9.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Paso 2.9.6

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 2.9.7

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 2.9.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.9.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.9.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.9.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.7.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.9.7.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{1}}$

Paso 2.9.7.5

Simplifica.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$

Paso 2.10

Reordena los factores en $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 3

Reduce.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 3.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (e^{\frac{x}{2}})}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}}$

Paso 3.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ se acerca a $0$ .

$0$