Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt[3]{5 - x}} d x$

Paso 1

Sea $u = 5 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 5 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 5 - x$ .

$u_{lower} = 5 - 0$

Paso 1.3

Resta $0$ de $5$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 5 - x$ .

$u_{upper} = 5 - 1 \cdot 5$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$u_{upper} = 5 - 5$

Paso 1.5.2

Resta $5$ de $5$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{5}^{0} \frac{- 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{5}^{0} - \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{5}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int_{5}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int_{5}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{5}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$- \int_{5}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int_{5}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{5}^{0})$

Paso 6

Combina $\frac{3}{2}$ y $u^{\frac{2}{3}}$ .

$- (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{5}^{0})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ en $0$ y en $5$ .

$- ((\frac{3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- (\frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$- (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- (\frac{3 \cdot 0^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.5

Multiplica $3$ por $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 7.2.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{0}{1} - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (0 - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.7

Resta $\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$ de $0$ .

$- - \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$

Paso 7.2.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$

Paso 7.2.9

Multiplica $\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2}$

Forma decimal:

$4.38602660 \dots$

Paso 9