Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} 8 e^{- 8 x} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 8 e^{- 8 x} d x$

Paso 2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 8 \int_{0}^{t} e^{- 8 x} d x$

Paso 3

Sea $u = - 8 x$ . Entonces $d u = - 8 d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - 8 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 3.1.2

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 8 x$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 8 x$ .

$u_{upper} = - 8 t$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8 t$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} 8 \int_{0}^{- 8 t} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} 8 \int_{0}^{- 8 t} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$lim_{t \to \infty} 8 \int_{0}^{- 8 t} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 8 (- \int_{0}^{- 8 t} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$lim_{t \to \infty} - 8 \int_{0}^{- 8 t} \frac{e^{u}}{8} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - 8 (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 8}{8} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $8$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Paso 8.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- 8 t})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 8 t$ y en $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- 8 t}) - e^{0})$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 8 t} - 1 \cdot 1)$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 8 t} - 1)$

Paso 11

Evalúa el límite.

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Paso 11.1

Evalúa el límite.

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Paso 11.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 8 t} - 1$

Paso 11.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 8 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 11.2

Como el exponente $- 8 t$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- 8 t}$ se acerca a $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 11.3

Evalúa el límite.

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Paso 11.3.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 11.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (0 - 1)$

Paso 11.3.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- - 1$

Paso 11.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1$