Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{e^{x}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 3.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.2.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los términos.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x + e^{x}$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Paso 3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Paso 3.4.3.2.4

Divide $e^{- x} (- x + 1)$ por $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Paso 3.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Paso 3.4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Paso 3.4.6

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Paso 3.4.7

Reordena los factores en $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- x} + e^{- x}$