Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Reordena los factores en $x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 1 \cdot 1 = 1$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 4.4.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $- 1$ más $- 1$

$\frac{e^{x} x^{2} + (- 1 - 1) (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 (e^{x} x) - 1 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.1.1.4

Mueve los paréntesis.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x) - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{e^{x} x (x - 1) - 1 e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} x - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - 1 e^{x}$ .

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 1 e^{x}$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{(x - 1) e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Combina exponentes.

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Paso 4.4.3.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Reordena los factores en $\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$