Cálculo Ejemplos

$x^{2} y = y - 7$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y) = \frac{d}{d x} (y - 7)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Paso 2.4

Reordena.

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Paso 2.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$x^{2} y' + 2 x y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 3.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' + 0$

Paso 3.4

Suma $y'$ y $0$ .

$y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x^{2} y' + 2 x y = y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 2 x y - y' = 0$

Paso 5.2

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' - y' = - 2 x y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $x^{2} y' - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - y' = - 2 x y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' x^{2} + y' \cdot - 1$ .

$y' (x^{2} - 1) = - 2 x y$

Paso 5.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' (x^{2} - 1^{2}) = - 2 x y$

Paso 5.5

Factoriza.

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Paso 5.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x - 1)) = - 2 x y$

Paso 5.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$ por $(x + 1) (x - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (x + 1) (x - 1) = - 2 x y$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$