Cálculo Ejemplos

$y = \frac{s - \sqrt{s}}{s^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{s}$ como $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s - s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}}]$

Paso 2

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $s - s^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{1} - s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}}]$

Paso 2.2

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{1}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} - s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}}]$

Paso 2.3

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $- s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{s^{2}}]$

Paso 2.4

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{s^{2}}]$

Paso 3

Mueve $s^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{2} s^{- \frac{1}{2}}}]$

Paso 4

Multiplica $s^{2}$ por $s^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{2 - \frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Paso 4.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{4 - 1}{2}}}]$

Paso 4.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ es $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ donde $f (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ y $g (s) = s^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{{(s^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Multiplica los exponentes en ${(s^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $s^{\frac{1}{2}} - 1$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 11.3

Mueve $s^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Suma $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 13.2

Combina $s^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{3}{2}}}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 13.3

Mueve $s^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{3}{2}} s^{- \frac{1}{2}}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 14

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1

Multiplica $s^{\frac{3}{2}}$ por $s^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{s^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 14.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{s^{\frac{3 - 1}{2}}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 14.1.3

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{2}{2}}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 14.1.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{s^{1}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 14.2

Simplifica $s^{1}$ .

$\frac{\frac{s}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 15

Multiplica $\frac{\frac{s}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{s}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Paso 16

Simplifica los términos.

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Paso 16.1

Combinar.

$\frac{2 (\frac{s}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \frac{s}{2} + 2 (- (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Paso 16.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{s}{2} + 2 (- (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Paso 16.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{s + 2 (- (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Paso 16.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{s - 2 ((s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3}{2} - 1})}{2 s^{3}}$

Paso 18

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{2 s^{3}}$

Paso 19

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{2 s^{3}}$

Paso 20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{2 s^{3}}$

Paso 21

Simplifica el numerador.

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Paso 21.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3 - 2}{2}})}{2 s^{3}}$

Paso 21.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{1}{2}})}{2 s^{3}}$

Paso 22

Combina $\frac{3}{2}$ y $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{3 s^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 s^{3}}$

Paso 23

Combina $\frac{3 s^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $- 2$ .

$\frac{s + \frac{3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Paso 24

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{s + \frac{- 6 s^{\frac{1}{2}}}{2} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Paso 25

Factoriza $2$ de $- 6 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{s + \frac{2 (- 3 s^{\frac{1}{2}})}{2} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Paso 26

Cancela los factores comunes.

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Paso 26.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{s + \frac{2 (- 3 s^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Paso 26.2

Cancela el factor común.

$\frac{s + \frac{2 (- 3 s^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Paso 26.3

Reescribe la expresión.

$\frac{s + \frac{- 3 s^{\frac{1}{2}}}{1} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Paso 26.4

Divide $- 3 s^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{s - 3 s^{\frac{1}{2}} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Paso 27

Simplifica.

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Paso 27.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{s - 3 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Paso 27.2

Simplifica el numerador.

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Paso 27.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 27.2.1.1

Multiplica $s^{\frac{1}{2}}$ por $s^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 27.2.1.1.1

Mueve $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{s - 3 (s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}}) - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Paso 27.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{s - 3 s^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Paso 27.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{s - 3 s^{\frac{1 + 1}{2}} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Paso 27.2.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{s - 3 s^{\frac{2}{2}} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Paso 27.2.1.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{s - 3 s^{1} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Paso 27.2.1.2

Simplifica $- 3 s^{1}$ .

$\frac{s - 3 s - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Paso 27.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{s - 3 s + 3 s^{\frac{1}{2}}}{2 s^{3}}$

Paso 27.2.2

Resta $3 s$ de $s$ .

$\frac{- 2 s + 3 s^{\frac{1}{2}}}{2 s^{3}}$

Paso 27.3

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $- 2 s + 3 s^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 27.3.1

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $- 2 s$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} (- 2 s^{\frac{1}{2}}) + 3 s^{\frac{1}{2}}}{2 s^{3}}$

Paso 27.3.2

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $3 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} (- 2 s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2 s^{3}}$

Paso 27.3.3

Factoriza $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{\frac{1}{2}} (- 2 s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} (- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 s^{3}}$

Paso 27.4

Mueve $s^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{3} s^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 27.5

Multiplica $s^{3}$ por $s^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 27.5.1

Mueve $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 (s^{- \frac{1}{2}} s^{3})}$

Paso 27.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Paso 27.5.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 27.5.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 27.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 27.5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 27.5.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Paso 27.5.6.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Paso 27.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 s^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Paso 27.7

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 s^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 3)}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Paso 27.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 s^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 s^{\frac{1}{2}} - 3)}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Paso 27.9

Reescribe $- (2 s^{\frac{1}{2}} - 3)$ como $- 1 (2 s^{\frac{1}{2}} - 3)$ .

$\frac{- 1 (2 s^{\frac{1}{2}} - 3)}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Paso 27.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 s^{\frac{1}{2}} - 3}{2 s^{\frac{5}{2}}}$