Cálculo Ejemplos

$y = \arcsin (\arccos (t))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \arcsin (t)$ y $g (t) = \arccos (t)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\arccos (t)$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Paso 1.2

La derivada de $\arcsin (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\arccos (t)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Paso 2

La derivada de $\arccos (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}})$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}}$ por $\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}}$

Paso 3.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{1}{\sqrt{(1 - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

Paso 3.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1^{2} - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

Paso 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \arccos (t)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 - t^{2})}}$

Paso 5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1^{2} - t^{2})}}$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = t$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 + t) (1 - t)}}$