Cálculo Ejemplos

$\int \frac{a x}{x^{2} - b x} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - b x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int \frac{a x}{x \cdot x - b x} d x$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $- b x$ .

$\int \frac{a x}{x \cdot x + x (- b)} d x$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- b)$ .

$\int \frac{a x}{x (x - b)} d x$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{a x}{x (x - b)} d x$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{a}{x - b} d x$

Paso 2

Dado que $a$ es constante con respecto a $x$ , mueve $a$ fuera de la integral.

$a \int \frac{1}{x - b} d x$

Paso 3

Sea $u = x - b$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x - b$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x - b$ .

$\frac{d}{d x} [x - b]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 3.1.4

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$a \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$a (\ln (| u |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$a \ln (| u |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - b$ .

$a \ln (| x - b |) + C$