Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt[3]{1} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el exponente $2$ de ${(x - 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.1.3.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.10

Combina $- 2$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.6

Simplifica.

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Paso 1.3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.6.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.6.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.6.2.2

Suma $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.7

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

Paso 1.3.8

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

Paso 1.3.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

Paso 1.3.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Paso 1.3.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Paso 1.3.9.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Paso 1.3.9.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Paso 1.3.9.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

Paso 1.3.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

Paso 1.3.9.2

Resta $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.12

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.14

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.15

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 + 0}$

Paso 1.3.16

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Paso 1.4

Reescribe $x^{\frac{1}{3}}$ como $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Para escribir $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.2

Para escribir $- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.5

Suma $2$ y $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.7

Multiplica $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1 + 2}{3}}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.11

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.3.12.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.3.12.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 2}$

Paso 1.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 2}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}} \cdot \frac{1}{2 x - 2}$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}$ por $\frac{1}{2 x - 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Paso 2.1.3

Reduce.

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}}) - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}}) + 2 (- \sqrt[3]{x})}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{\frac{2}{3}}) + 2 (- \sqrt[3]{x})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Paso 2.1.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.4.1

Factoriza $2$ de $3 x^{1} (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{2 (3 x^{1} (x - 1))}$

Paso 2.1.3.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{2 (3 x^{1} (x - 1))}$

Paso 2.1.3.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (x - 1)}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1} (x - 1)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2.2

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2.5.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.2.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Paso 3.1.3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x^{1}$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 3.1.3.4.2

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 3.1.3.4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Paso 3.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.5.1

Multiplica $1 - 1 \cdot 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 - 1}$

Paso 3.1.3.5.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1} (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 3.3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.3.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

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Paso 3.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.4.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1)]}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.12

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + (x - 1) \cdot 1}$

Paso 3.3.14

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + x - 1}$

Paso 3.3.15

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Paso 3.4

Reescribe $x^{\frac{1}{3}}$ como $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5

Combina los términos.

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Paso 3.5.1

Para escribir $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.2

Para escribir $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.7

Multiplica $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1 + 2}{3}}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.11

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.3.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.3.12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 1}$

Paso 3.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 1}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 4.2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 4.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 4.6

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 4.7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 4.8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 4.9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 4.10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x^{1}$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 5.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1}}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Divide $2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 \cdot 1 - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - 1)}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.5

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 - 1}$

Paso 6.3.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{1}$

Paso 6.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Paso 6.5

Divide $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.6

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 6.6.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Paso 6.6.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{1}$