Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (2 - \csc^{2} (x)) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 - \csc^{2} (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x$

Paso 5

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1.1

Evalúa $2 x$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$(2 \frac{π}{2}) - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 6.1.2

Evalúa $- \cot (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$2 \frac{π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Combina $2$ y $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.2.2

Divide $π$ por $1$ .

$π - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.3

Combina $- 2$ y $\frac{π}{4}$ .

$π + \frac{- 2 π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 6.1.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 π$ .

$π + \frac{2 (- π)}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$π + \frac{2 (- π)}{2 (2)} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$π + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$π + \frac{- π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$π - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.6

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.7

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 2 - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.1.3.10

Resta $π$ de $2 π$ .

$\frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + \cot (\frac{π}{4}))$

Paso 6.2.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + 1)$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{2} - (0 + 1)$

Paso 6.2.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{2} - 1$

Forma decimal:

$0.57079632 \dots$