Cálculo Ejemplos

$y = 6 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.4.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + 0$

Paso 1.4.3

Suma $24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$72 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$72 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 18 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$72 x^{2} - 18 x + 2 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 18 x + 2$