Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

Paso 1

Completa el cuadrado.

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Paso 1.1

Reordena $x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Paso 1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Paso 1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Paso 1.5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Paso 1.5.2.1.4

Multiplica $- - \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.5.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Paso 1.5.2.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Paso 1.5.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Paso 2.1.4

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

Paso 2.3

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

Paso 2.5.3

Resta $1$ de $2$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

Paso 3

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

Paso 3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

Paso 4

Reescribe $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

Paso 5

Reordena $- {u_{1}}^{2}$ y ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{1}{2}$ y $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Paso 7

Para escribir $u_{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Combina $u_{1}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Paso 9

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Paso 10

Para escribir $- u_{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

Paso 11

Combina $- u_{1}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

Paso 13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

Paso 14

Multiplica $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ por $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

Paso 15

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

Paso 16

Reescribe $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ .

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Paso 16.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

Paso 16.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

Paso 16.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

Paso 17

Simplifica los términos.

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Paso 17.1

Retira los términos de abajo del radical.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

Paso 17.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Paso 18

Expande $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Paso 18.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Paso 19

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Paso 19.1.2

Multiplica $- 2 u_{1}$ por $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Paso 19.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Paso 19.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 19.1.5

Multiplica $u_{1}$ por $u_{1}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1.5.1

Mueve $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

Paso 19.1.5.2

Multiplica $u_{1}$ por $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 19.1.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 19.2

Suma $- 2 u_{1}$ y $2 u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 19.3

Suma $1$ y $0$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 20

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 21

Sea $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\cos (t)}{2}$ es positiva.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22

Simplifica los términos.

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Paso 22.1

Simplifica $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 22.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (t)$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 22.1.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Paso 22.2

Simplifica.

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Paso 22.2.1

Combina $\cos (t)$ y $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Paso 22.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Paso 22.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Paso 22.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Paso 22.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Paso 23

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Paso 24.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Paso 25

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 26

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 27

Simplifica.

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Paso 27.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 27.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 28

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 29

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 30

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 30.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 30.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 30.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 30.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 30.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 30.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Paso 30.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 30.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 30.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 30.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = - π$

Paso 30.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 30.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 30.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 30.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 30.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Paso 30.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 31

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 32

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 33

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Paso 34

Sustituye y simplifica.

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Paso 34.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{2}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Paso 34.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $π$ y en $- π$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 34.3

Simplifica.

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Paso 34.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 34.3.2

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 34.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 34.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 34.3.3.2

Divide $π$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Paso 35

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 35.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 35.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 35.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Paso 35.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Paso 35.1.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Paso 35.1.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Paso 35.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Paso 35.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 35.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (π + 0)$

Paso 35.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{1}{8} π$

Paso 35.3

Combina $\frac{1}{8}$ y $π$ .

$\frac{π}{8}$

Paso 36

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{8}$

Forma decimal:

$0.39269908 \dots$

Paso 37