Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 1 - {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de ${(x - 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - {(0 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - {(0 - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{0}{1 - {(- 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.3.3.1.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - {(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

Paso 1.3.3

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - ((x - 1) (x - 1))]}$

Paso 1.3.4

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))]}$

Paso 1.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]}$

Paso 1.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

Paso 1.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

Paso 1.3.5.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

Paso 1.3.5.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

Paso 1.3.5.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]}$

Paso 1.3.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - x + 1)]}$

Paso 1.3.5.2

Resta $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - 2 x + 1)]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - (x^{2} - 2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]}$

Paso 1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} - 2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 1.3.8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 1.3.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 1.3.8.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 1.3.8.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 1.3.8.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \cdot 1 + 0)}$

Paso 1.3.8.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 + 0)}$

Paso 1.3.8.8

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2)}$

Paso 1.3.9

Simplifica.

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Paso 1.3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x) - - 2}$

Paso 1.3.9.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.9.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 2 x - - 2}$

Paso 1.3.9.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 2 x + 2}$

Paso 1.3.9.2.3

Resta $- (- 2 x + 2)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x + 2}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 2}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 2}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 2 \cdot 0 + 2}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Paso 4.2

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$