Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 1$ y $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.4.2.2

Resta $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 4.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Paso 4.13

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'}{x}$

Paso 4.14

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.15

Reescribe $\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ como un producto.

$- (\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 4.16

Multiplica $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 4.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x'}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x'}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.19

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 4.21

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Divide $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = - 1$

Paso 6.3

Multiplica ambos lados por $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}}) = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.1.1

Simplifica $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}})$ .

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Paso 6.4.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.4.1.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 6.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.4.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x' = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x' = - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 x^{\frac{3}{2}}$