Cálculo Ejemplos

$\int 7 \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Paso 1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Paso 2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$7 \int \tan^{3} (x) \sec^{1} (x) d x$

Paso 3

Factoriza $\tan^{2} (x)$ .

$7 \int \tan^{2} (x) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$7 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Paso 5

Simplifica.

$7 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec (x) d x$

Paso 6

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$7 \int - 1 + u^{2} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$7 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$7 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$7 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$7 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$7 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$7 (- \sec (x) + \frac{1}{3} \sec^{3} (x)) + C$