Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 6.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 6.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 6.2.3.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 6.2.3.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 6.2.3.6

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 6.2.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 6.2.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 6.2.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 6.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 6.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 6.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 6.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 6.2.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0)$

Paso 6.2.3.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0)$

Paso 6.2.3.11

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Paso 6.2.3.12

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 6.2.3.13

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3.14

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.3.14.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3.14.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3.14.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.14.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

Paso 6.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2}{6}$

Paso 6.2.3.16

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$

Paso 8