Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + h}$ como ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - \sqrt{x}}{h}]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h}]$

Paso 1.3

Como $\frac{1}{h}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.4

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + h$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{{(x + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 7.3

Mueve ${(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 10

Como $h$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $h$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 14

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 15

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 17

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 17.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 19

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 20

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{h} \cdot \frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{h} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 21.2

Combina los términos.

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Paso 21.2.1

Multiplica $\frac{1}{h}$ por $\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{h} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 21.2.2

Multiplica $\frac{1}{h}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{h (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 21.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.3

Simplifica cada término.

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Paso 21.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 21.3.1.1

Reescribe.

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{h \cdot 2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{1}{2 h {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$