Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{- 11 x}$ , $(0, 13)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = e^{- 11 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{- 11 x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{- 11 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = - 11 x$ . Entonces $d u = - 11 d x$ , de modo que $- \frac{1}{11} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = - 11 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $- 11 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11 x$ con respecto a $x$ es $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 11 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 11 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$- 11$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 11} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{11}) d u$

Paso 2.3.2.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{11}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{11} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{11} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{11}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{11}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{11} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 11 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $13$ por $y$ en $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ .

$13 = - \frac{1}{11} e^{- 11 \cdot 0} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$ .

$- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 11$ por $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot e^{0} + K = 13$

Paso 4.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1}{11} \cdot 1 + K = 13$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{11} + K = 13$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{1}{11}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 13 + \frac{1}{11}$

Paso 4.3.2

Para escribir $13$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{11}{11}$ .

$K = 13 \cdot \frac{11}{11} + \frac{1}{11}$

Paso 4.3.3

Combina $13$ y $\frac{11}{11}$ .

$K = \frac{13 \cdot 11}{11} + \frac{1}{11}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{13 \cdot 11 + 1}{11}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $13$ por $11$ .

$K = \frac{143 + 1}{11}$

Paso 4.3.5.2

Suma $143$ y $1$ .

$K = \frac{144}{11}$

Paso 5

Sustituye $\frac{144}{11}$ por $K$ en $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{144}{11}$ por $K$ .

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + \frac{144}{11}$

Paso 5.2

Combina $e^{- 11 x}$ y $\frac{1}{11}$ .

$y = - \frac{e^{- 11 x}}{11} + \frac{144}{11}$