Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} 5 \sin^{2} (t) \cos^{4} (t) d t$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) \cos^{4} (t) d t$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Paso 2.2

Reescribe ${\cos (t)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Paso 3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$5 \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Paso 5

Sea $u_{1} = 2 t$ . Entonces $d u_{1} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{1} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{1} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 5.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 5.6

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{2} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{4} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 6.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 6.2.1

Reescribe $\frac{1 - \cos (u_{1})}{4}$ como un producto.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 6.2.2

Reescribe $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ como un producto.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Paso 6.3

Expande $\frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Paso 6.3.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))) d u_{1}$

Paso 6.3.2