Cálculo Ejemplos

$y = arccsc (x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arccsc (x^{2} + 1))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arccsc (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.1.2

La derivada de $arccsc (u)$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + 0)$

Paso 3.2.4

Combina fracciones.

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Paso 3.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x)$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Paso 3.2.4.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Paso 3.2.4.4

Combina $\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Paso 3.2.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

Paso 3.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2} + 1$ y $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 1 + 1) (x^{2} + 1 - 1)}}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 1 - 1)}}$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}}$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) x^{2}}}$

Paso 3.3.1.4

Reordena $x^{2} + 2$ y $x^{2}$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} (x^{2} + 2)}}$

Paso 3.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 3.3.3

Multiplica $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- (\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}})$

Paso 3.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.4.1

Multiplica $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 3.3.4.2

Mueve $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Paso 3.3.4.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Paso 3.3.4.4

Eleva $\sqrt{x^{2} + 2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Paso 3.3.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Paso 3.3.4.7

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ como $x^{2} + 2$ .

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Paso 3.3.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Paso 3.3.4.7.5

Simplifica.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$