Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{5}$

Paso 1

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + a$

Paso 1.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

Paso 1.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $1 + a$ y en $1$ .

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

Paso 4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

Paso 5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0 + a}{1 + a}$

Paso 5.4.2

Suma $0$ y $a$ .

$\frac{a}{1 + a}$