Cálculo Ejemplos

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Paso 2.1.4

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 - 4 x$ .

$u_{lower} = 3 - 4 t$

Paso 2.3

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 - 4 x$ .

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$u_{upper} = 3 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Paso 3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $u$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

Paso 7

Combina $\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ y $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

Paso 8

Evalúa $\ln (| u |)$ en $3$ y en $3 - 4 t$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

Paso 9

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Paso 10

Como la función $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ se acerca a $- \infty$ , la constante negativa $- 1$ veces la función se acerca a $\infty$ .

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Paso 10.1

Considera el límite con el múltiplo constante $- 1$ eliminado.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Paso 10.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Paso 10.3

A medida que $t$ se acerca a $- \infty$ desde cualquier lado, $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Paso 10.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \infty}{4}$

Paso 10.5

Infinito dividido por cualquier número finito y no nulo es infinito.

$- \infty$

Paso 10.6

Como la función $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ se acerca a $- \infty$ , la constante negativa $- 1$ veces la función se acerca a $\infty$ .

$\infty$