Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{5} (x^{2} + 2 x) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{2}^{5} x^{2} + 2 x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} 2 x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 x d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $5$ y en $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5})$

Paso 6.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $5$ y en $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $125$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.4

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.5

Combina $- 8$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{125}{3} - \frac{8}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{125 - 8}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.8

Resta $8$ de $125$ .

$\frac{117}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9

Cancela el factor común de $117$ y $3$ .

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Paso 6.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $117$ .

$\frac{3 \cdot 39}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 39}{3 (1)} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{39}{1} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9.2.4

Divide $39$ por $1$ .

$39 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.10

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2})$

Paso 6.2.3.12

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.2.3.12.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Paso 6.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Paso 6.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Paso 6.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1})$

Paso 6.2.3.12.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2)$

Paso 6.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - 2)$

Paso 6.2.3.14

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 6.2.3.15

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

Paso 6.2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$39 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.17.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$39 + 2 \frac{25 - 4}{2}$

Paso 6.2.3.17.2

Resta $4$ de $25$ .

$39 + 2 (\frac{21}{2})$

Paso 6.2.3.18

Combina $2$ y $\frac{21}{2}$ .

$39 + \frac{2 \cdot 21}{2}$

Paso 6.2.3.19

Multiplica $2$ por $21$ .

$39 + \frac{42}{2}$

Paso 6.2.3.20

Cancela el factor común de $42$ y $2$ .

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Paso 6.2.3.20.1

Factoriza $2$ de $42$ .

$39 + \frac{2 \cdot 21}{2}$

Paso 6.2.3.20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.20.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$39 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)}$

Paso 6.2.3.20.2.2

Cancela el factor común.

$39 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.20.2.3

Reescribe la expresión.

$39 + \frac{21}{1}$

Paso 6.2.3.20.2.4

Divide $21$ por $1$ .

$39 + 21$

Paso 6.2.3.21

Suma $39$ y $21$ .

$60$

Paso 7