Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} (x^{2} + \frac{1}{9}) (x - \frac{1}{3})$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + \frac{1}{9} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{3}$ .

$(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Paso 3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Paso 4

Evalúa el límite de $\frac{1}{9}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{3})$

Paso 6

Evalúa el límite de $\frac{1}{3}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{1}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{3}$ para $x$ .

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{3}$ para $x$ .

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$(1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$(\frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{1}{9} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 1}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 1 - 1}{3}$

Paso 8.5

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

Paso 8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{2}{3})$

Paso 8.7

Multiplica $\frac{2}{9} (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 8.7.1

Multiplica $\frac{2}{9}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Paso 8.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 3}$

Paso 8.7.3

Multiplica $9$ por $3$ .

$- \frac{4}{27}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{4}{27}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{148}$