Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Paso 1

Mueve el término $- 4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Paso 4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Paso 6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Paso 7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

Paso 9

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Paso 11.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Paso 11.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

Paso 11.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

Paso 11.2.3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

Paso 11.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

Paso 11.2.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Paso 11.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Paso 11.2.6.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Paso 11.2.6.3

Cancela el factor común.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Paso 11.2.6.4

Reescribe la expresión.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

Paso 11.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

Paso 11.2.8

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

Paso 11.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

Paso 11.4

Multiplica $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

Paso 11.5

Multiplica $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

Paso 11.6

Expande el denominador con el método PEIU.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

Paso 11.7

Simplifica.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

Paso 11.8

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

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Paso 11.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

Paso 11.8.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Paso 11.9

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.9.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Paso 11.9.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Paso 11.9.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Paso 11.9.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$- 0.42264973 \dots$