Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Paso 1

Sea $x = 2 \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.4

Reescribe $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2 \sec (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2 \sec (t)$ de ${(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 \tan (t))}^{2}} d t$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Paso 2.2.3.2

Aplica la regla del producto a $2 (\tan (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{2^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Paso 2.2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $\sec (x)$ como $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Paso 4.2

Aplica la identidad recíproca.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 4.3.2

Combinar.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 4.3.3

Multiplica $\csc (t)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 4.3.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 4.3.5

Combina $\cot (t)$ y $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 4.3.6

Reduce la expresión $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.6.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Paso 4.3.6.2

Factoriza $\cot (t)$ de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Paso 4.3.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Paso 4.3.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Paso 4.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Paso 5

Como la derivada de $- \csc (t)$ es $\csc (t) \cot (t)$ , la integral de $\csc (t) \cot (t)$ es $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (\arctan (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto, $\csc (\arctan (\frac{x}{2}))$ es $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Paso 8.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.7

Reescribe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Paso 8.1.7.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $4 + x^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.7.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.7.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Paso 8.1.10

Combinar.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Paso 8.1.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.11.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Paso 8.1.11.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Paso 8.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Paso 8.3

Combinar.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Paso 8.4

Multiplica $\sqrt{4 + x^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Paso 8.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{4 x} + C$