Cálculo Ejemplos

$y = (4 x^{2} - \frac{1}{2} x) (9 x + 8)$

Paso 1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 x + 8)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 x^{2} - \frac{x}{2}$ y $g (x) = 9 x + 8$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [9 x + 8] + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Paso 3.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Paso 3.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Paso 3.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 + 0) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $9$ y $0$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) \cdot 9 + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Paso 3.6.2

Mueve $9$ a la izquierda de $4 x^{2} - \frac{x}{2}$ .

$9 \cdot (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - \frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Paso 3.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Paso 3.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Paso 3.11

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 3.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2})$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x) + (9 x + 8) (- \frac{1}{2})$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + (9 x + 8) (- \frac{1}{2})$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5

Combina los términos.

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Paso 4.5.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$36 x^{2} + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$36 x^{2} - 9 \frac{x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.3

Combina $- 9$ y $\frac{x}{2}$ .

$36 x^{2} + \frac{- 9 x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.5

Multiplica $8$ por $9$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x \cdot x + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 (x^{1} x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 (x^{1} x^{1}) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{1 + 1} + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.9

Suma $1$ y $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.10

Multiplica $8$ por $8$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.11

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - 9 x \frac{1}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.12

Combina $- 9$ y $\frac{1}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + x \frac{- 9}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.13

Combina $x$ y $\frac{- 9}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + \frac{x \cdot - 9}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.14

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + \frac{- 9 \cdot x}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Paso 4.5.16

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Paso 4.5.17

Combina $- 8$ y $\frac{1}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{- 8}{2}$

Paso 4.5.18

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 4.5.18.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2}$

Paso 4.5.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Paso 4.5.18.2.2

Cancela el factor común.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.18.2.3

Reescribe la expresión.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{- 4}{1}$

Paso 4.5.18.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} - 4$

Paso 4.5.19

Para escribir $64 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 x}{2} - 4$

Paso 4.5.20

Combina $64 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{64 x \cdot 2}{2} - \frac{9 x}{2} - 4$

Paso 4.5.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{64 x \cdot 2 - 9 x}{2} - 4$

Paso 4.5.22

Multiplica $2$ por $64$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{128 x - 9 x}{2} - 4$

Paso 4.5.23

Resta $9 x$ de $128 x$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{119 x}{2} - 4$

Paso 4.5.24

Suma $36 x^{2}$ y $72 x^{2}$ .

$108 x^{2} - \frac{9 x}{2} + \frac{119 x}{2} - 4$

Paso 4.5.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$108 x^{2} + \frac{- 9 x + 119 x}{2} - 4$

Paso 4.5.26

Suma $- 9 x$ y $119 x$ .

$108 x^{2} + \frac{110 x}{2} - 4$

Paso 4.5.27

Cancela el factor común de $110$ y $2$ .

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Paso 4.5.27.1

Factoriza $2$ de $110 x$ .

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2} - 4$

Paso 4.5.27.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.27.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2 (1)} - 4$

Paso 4.5.27.2.2

Cancela el factor común.

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2 \cdot 1} - 4$

Paso 4.5.27.2.3

Reescribe la expresión.

$108 x^{2} + \frac{55 x}{1} - 4$

Paso 4.5.27.2.4

Divide $55 x$ por $1$ .

$108 x^{2} + 55 x - 4$