Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + 4 \sin (- 2 x)$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Paso 2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Paso 4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Paso 5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (- 2 x)$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x)$

Paso 7

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{6}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{6}$ para $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{6}$ para $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$4 \tan (\frac{11 π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Paso 9.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$4 (- \tan (\frac{π}{6})) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Paso 9.1.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Paso 9.1.4

Multiplica $4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 9.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Paso 9.1.4.2

Combina $- 4$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Paso 9.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Paso 9.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 (- 1) \frac{π}{6})$

Paso 9.1.6.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Paso 9.1.6.3

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Paso 9.1.6.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- \frac{π}{3})$

Paso 9.1.7

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 9.1.8

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 9.1.9

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 9.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.10.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.1.10.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.1.10.3

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.1.10.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (- \sqrt{3})$

Paso 9.1.11

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Paso 9.2

Para escribir $- 2 \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.3

Combina $- 2 \sqrt{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.5.2

Resta $6 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$- 5.77350269 \dots$