Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{7} 3 \sqrt{x + 9} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{7} \sqrt{x + 9} d x$

Paso 2

Sea $u = x + 9$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 9$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Paso 2.3

Suma $0$ y $9$ .

$u_{lower} = 9$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 9$ .

$u_{upper} = 7 + 9$

Paso 2.5

Suma $7$ y $9$ .

$u_{upper} = 16$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16})$

Paso 5

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{9}^{16})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $16$ y en $9$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.5

Multiplica $2$ por $64$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 6.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.8.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 6.2.8.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3})$

Paso 6.2.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 27}{3})$

Paso 6.2.10

Multiplica $2$ por $27$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{54}{3})$

Paso 6.2.11

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 6.2.11.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3})$

Paso 6.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3 (1)})$

Paso 6.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1})$

Paso 6.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{18}{1})$

Paso 6.2.11.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$3 (\frac{128}{3} - 1 \cdot 18)$

Paso 6.2.12

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$3 (\frac{128}{3} - 18)$

Paso 6.2.13

Para escribir $- 18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 6.2.14

Combina $- 18$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3})$

Paso 6.2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Paso 6.2.16

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.16.1

Multiplica $- 18$ por $3$ .

$3 \frac{128 - 54}{3}$

Paso 6.2.16.2

Resta $54$ de $128$ .

$3 (\frac{74}{3})$

Paso 6.2.17

Combina $3$ y $\frac{74}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 74}{3}$

Paso 6.2.18

Multiplica $3$ por $74$ .

$\frac{222}{3}$

Paso 6.2.19

Cancela el factor común de $222$ y $3$ .

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Paso 6.2.19.1

Factoriza $3$ de $222$ .

$\frac{3 \cdot 74}{3}$

Paso 6.2.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.19.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 74}{3 (1)}$

Paso 6.2.19.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 74}{3 \cdot 1}$

Paso 6.2.19.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{74}{1}$

Paso 6.2.19.2.4

Divide $74$ por $1$ .

$74$

Paso 7