Cálculo Ejemplos

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 5 x - 3$ y $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - \frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2.6

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.10

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.12

Multiplica $5$ por $1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.13

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

Paso 2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 2.14.1

Suma $5$ y $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

Paso 2.14.2

Mueve $5$ a la izquierda de $4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Paso 3.3.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

Paso 3.3.4

Combina $- 5$ y $\frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

Paso 3.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

Paso 3.3.7

Para escribir $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

Paso 3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Paso 3.3.9

Para escribir $20 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Paso 3.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Paso 3.3.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Paso 3.3.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Paso 3.3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Paso 3.3.14

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Paso 3.5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Paso 3.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Paso 3.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Paso 3.5.4

Expande $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Paso 3.5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Paso 3.5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.5.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.6

Multiplica $5 \frac{3}{x}$ .

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Paso 3.5.5.6.1

Combina $5$ y $\frac{3}{x}$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.6.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.5.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Paso 3.5.5.8

Multiplica $\frac{3}{x} \cdot - 3$ .

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Paso 3.5.5.8.1

Combina $\frac{3}{x}$ y $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

Paso 3.5.5.8.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

Paso 3.5.5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Paso 3.5.6

Suma $20 x^{2}$ y $20 x^{2}$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Paso 3.5.7

Resta $15$ de $15$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

Paso 3.5.8

Suma $40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ y $0$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

Paso 3.5.9

Para escribir $40 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

Paso 3.5.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.11

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.11.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.11.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.11.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.12

Para escribir $- 12 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.13

Combina $- 12 x$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.15

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.15.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.15.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.15.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Paso 3.5.15.2

Reordena los términos.

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

Paso 3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 3.7.1

Multiplica $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

Paso 3.7.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

Paso 3.7.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

Paso 3.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

Paso 3.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$