Cálculo Ejemplos

$y = x \sqrt{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Paso 1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Paso 1.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.9

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.10

Multiplica.

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Paso 2.10.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.10.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$