Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

Paso 1

Simplifica la suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Usa el teorema del binomio.

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.3

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Mueve $3^{2}$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $3^{2}$ por $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.6

Multiplica $- 2$ por $27$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.8

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.9

Multiplica $4$ por $9$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

Paso 1.2.10

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Paso 1.3

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

Paso 3

Evalúa $27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $3$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

Paso 3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Suma $7$ y $1$ .

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Multiplica $49$ por $64$ .

$27 (\frac{3136}{4})$

Paso 3.3.2.2

Divide $3136$ por $4$ .

$27 \cdot 784$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $27$ por $784$ .

$21168$

Paso 4

Evalúa $54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Paso 4.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Suma $7$ y $1$ .

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $7$ por $8$ .

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.3

Suma $14$ y $1$ .

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Paso 4.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiplica $56$ por $15$ .

$- 54 (\frac{840}{6})$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $6$ de $- 54$ .

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- 9 \cdot 840$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 9$ por $840$ .

$- 7560$

Paso 5

Evalúa $36 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Suma $7$ y $1$ .

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $7$ por $8$ .

$36 (\frac{56}{2})$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$2 (18) \frac{56}{2}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$18 \cdot 56$

Paso 5.3.3

Multiplica $18$ por $56$ .

$1008$

Paso 6

Evalúa $\sum_{i = 1}^{7} - 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 6.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(- 8) (7)$

Paso 6.3

Multiplica $- 8$ por $7$ .

$- 56$

Paso 7

Suma los resultados de las sumas.

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Resta $7560$ de $21168$ .

$13608 + 1008 - 56$

Paso 8.2

Suma $13608$ y $1008$ .

$14616 - 56$

Paso 8.3

Resta $56$ de $14616$ .

$14560$