Cálculo Ejemplos

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

Paso 1

Reescribe $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que 0 y no iguales a 1, y si $x$ es mayor que 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Paso 1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

Paso 2

Como $\frac{1}{\ln (a)}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ .

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x^{3} + 7$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ por $\frac{1}{\ln (a)}$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 4.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 4.6

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

Paso 4.7.2

Combina $6$ y $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ .

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

Paso 4.7.3

Combina $\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ y $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

Paso 5.2

Factoriza $\ln (a)$ de $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $\ln (a)$ de $2 x^{3} \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

Paso 5.2.2

Factoriza $\ln (a)$ de $7 \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

Paso 5.2.3

Factoriza $\ln (a)$ de $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$