Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} (x^{2} + 2 x - 4) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x - 4 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + - 4 x]_{1}^{3}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ y $- 4 x]_{1}^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x]_{1}^{3}$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $3$ y en $1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x]_{1}^{3}$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ en $3$ y en $1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{9 - 1}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.4

Resta $1$ de $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.5

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 8.2.3.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{4}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.5.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$2 \cdot 4 + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$8 + \frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $27$ .

$8 + \frac{27}{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.9

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 8.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$8 + \frac{9}{1} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.9.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$8 + 9 - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.10

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$8 + 9 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.11

Resta $12$ de $9$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.13

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4 \cdot 1)$

Paso 8.2.3.14

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4)$

Paso 8.2.3.15

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 8.2.3.16

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

Paso 8.2.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 - 3 - \frac{1 - 4 \cdot 3}{3}$

Paso 8.2.3.18

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.18.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$8 - 3 - \frac{1 - 12}{3}$

Paso 8.2.3.18.2

Resta $12$ de $1$ .

$8 - 3 - \frac{- 11}{3}$

Paso 8.2.3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 - 3 - - \frac{11}{3}$

Paso 8.2.3.20

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 - 3 + 1 (\frac{11}{3})$

Paso 8.2.3.21

Multiplica $\frac{11}{3}$ por $1$ .

$8 - 3 + \frac{11}{3}$

Paso 8.2.3.22

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{11}{3}$

Paso 8.2.3.23

Combina $- 3$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{11}{3}$

Paso 8.2.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 + \frac{- 3 \cdot 3 + 11}{3}$

Paso 8.2.3.25

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.25.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$8 + \frac{- 9 + 11}{3}$

Paso 8.2.3.25.2

Suma $- 9$ y $11$ .

$8 + \frac{2}{3}$

Paso 8.2.3.26

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 8.2.3.27

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 8.2.3.28

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Paso 8.2.3.29

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.29.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{24 + 2}{3}$

Paso 8.2.3.29.2

Suma $24$ y $2$ .

$\frac{26}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{26}{3}$

Forma decimal:

$8.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$8 \frac{2}{3}$

Paso 10