Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 x^{3} + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $5 x^{3} + 3 x^{2} + x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $5 x^{3}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x^{1}}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.4

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.5

Factoriza $x$ de $x (5 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.6

Factoriza $x$ de $x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} d x$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{5 x^{2} + 3 x + 1}{x} d x$

Paso 2

Divide $5 x^{2} + 3 x + 1$ por $x$ .

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Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$5 x$
	$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$5 x^{2}$	+	$0$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{2} + 0$ .

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$

Paso 2.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

Paso 2.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

Paso 2.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					+	$3 x$	+	$0$

Paso 2.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x + 0$ .

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$

Paso 2.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$
							+	$1$

Paso 2.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 5 x + 3 + \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \ln (| x |) + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$\frac{5}{2} x^{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$