Cálculo Ejemplos

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Paso 2.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Paso 2.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Paso 2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Paso 2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Paso 2.2.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Paso 2.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Paso 2.2.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Paso 2.2.10

Combina $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $y'$ .

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Paso 2.2.11

Mueve $y^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.12

Combina $3$ y $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.13

Cancela el factor común.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.14

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Paso 5.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Paso 5.4

Reescribe $y^{\frac{2}{3}}$ como ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

Paso 5.5

Reescribe $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ como ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

Paso 5.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

Paso 5.7

Factoriza.

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Paso 5.7.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ y $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

Paso 5.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

Paso 5.8

Divide cada término en $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ por $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.8.1

Divide cada término en $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ por $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ .

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Paso 5.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.8.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Paso 5.8.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Paso 5.8.2.4

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Paso 5.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.8.3.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Paso 5.8.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Paso 5.8.3.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 5.8.3.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 5.8.3.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 5.8.3.2

Multiplica $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 5.8.3.3

Multiplica $y^{\frac{1}{3}}$ por $y^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.8.3.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

Paso 5.8.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

Paso 5.8.3.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 5.8.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$