Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} (1 - | x |) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 1}^{1} 1 - | x | d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} - | x | d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - | x | d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} | x | d x$

Paso 5

Divide la integral según si $x$ es positiva y negativa.

$x]_{- 1}^{1} - (\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{1} x d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{- 1}^{1} - (- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{1} x d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.2.1

Evalúa $x$ en $1$ y en $- 1$ .

$(1) + 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 10.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $0$ y en $- 1$ .

$(1) + 1 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 10.2.3

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$(1) + 1 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4

Simplifica.

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Paso 10.2.4.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 - (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 10.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$2 - (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 - (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 - (- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 - (- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.5

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$2 - (- - \frac{1}{2} + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 - (1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 10.2.4.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 10.2.4.10

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 10.2.4.10.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 10.2.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.4.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 10.2.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 10.2.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 10.2.4.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0)$

Paso 10.2.4.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0)$

Paso 10.2.4.12

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 10.2.4.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 - \frac{1 + 1}{2}$

Paso 10.2.4.14

Suma $1$ y $1$ .

$2 - \frac{2}{2}$

Paso 10.2.4.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.4.15.1

Cancela el factor común.

$2 - \frac{2}{2}$

Paso 10.2.4.15.2

Reescribe la expresión.

$2 - 1 \cdot 1$

Paso 10.2.4.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1$

Paso 10.2.4.17

Resta $1$ de $2$ .

$1$

Paso 11