Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} (\ln (x) e^{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\ln (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) e^{x} + e^{x} \frac{1}{x}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) e^{x} + \frac{e^{x}}{x}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$e^{x} \ln (x) + \frac{e^{x}}{x}$