Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x^{6}} - \frac{1}{x^{4}} + 5)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{x^{6}} - \frac{1}{x^{4}} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{6}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{6}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{6}}]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x^{6}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{6}}$ como ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{6}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{6}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{6}$ .

$3 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$3 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.5.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$3 (- x^{- 12} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$3 (- 6 x^{- 12} x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.7

Multiplica $x^{- 12}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.1

Mueve $x^{5}$ .

$3 (- 6 (x^{5} x^{- 12})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (- 6 x^{5 - 12}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.7.3

Resta $12$ de $5$ .

$3 (- 6 x^{- 7}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.8

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$- 18 x^{- 7} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{4}}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

$- 18 x^{- 7} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 18 x^{- 7} - \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$- 18 x^{- 7} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 18 x^{- 7} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$- 18 x^{- 7} - (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 18 x^{- 7} - (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 18 x^{- 7} - (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 x^{- 7} - (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.6.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 18 x^{- 7} - (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 18 x^{- 7} - (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.8

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.8.1

Mueve $x^{3}$ .

$- 18 x^{- 7} - (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 18 x^{- 7} - (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.8.3

Resta $8$ de $3$ .

$- 18 x^{- 7} - (- 4 x^{- 5}) + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.9

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- 18 x^{- 7} + 4 x^{- 5} + \frac{1}{x^{4}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{1}{x^{4}}$ por $0$ .

$- 18 x^{- 7} + 4 x^{- 5} + 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.11

Suma $4 x^{- 5}$ y $0$ .

$- 18 x^{- 7} + 4 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 18 x^{- 7} + 4 x^{- 5} + 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{7}} + 4 x^{- 5} + 0$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{7}} + 4 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Combina $- 18$ y $\frac{1}{x^{7}}$ .

$\frac{- 18}{x^{7}} + 4 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Paso 5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{18}{x^{7}} + 4 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Paso 5.3.3

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{18}{x^{7}} + \frac{4}{x^{5}} + 0$

Paso 5.3.4

Suma $- \frac{18}{x^{7}} + \frac{4}{x^{5}}$ y $0$ .

$- \frac{18}{x^{7}} + \frac{4}{x^{5}}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{4}{x^{5}} - \frac{18}{x^{7}}$