Cálculo Ejemplos

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{v}$ como $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v}]$

Paso 2

Multiplica $v$ por $v^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v}]$

Paso 2.2

Multiplica $v^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

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Paso 2.2.1

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v}]$

Paso 2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v}]$

Paso 2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v}]$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v}]$

Paso 2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

Paso 3

Factoriza $v^{\frac{3}{2}}$ de $v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $v^{\frac{3}{2}}$ de $v^{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

Paso 3.2

Factoriza $v^{\frac{3}{2}}$ de $- 2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{v}]$

Paso 3.3

Factoriza $v^{\frac{3}{2}}$ de $v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)}{v}]$

Paso 4

Mueve $v^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2) v^{- 1}]$

Paso 5

Multiplica $v^{\frac{3}{2}}$ por $v^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $v^{- 1}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{- 1} v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Paso 5.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Paso 5.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Paso 5.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Paso 6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ es $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ donde $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ y $g (v) = v^{\frac{3}{2}} - 2$ .

$v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} - 2] + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $v^{\frac{3}{2}} - 2$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 11.2

Resta $2$ de $3$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 12

Combina $\frac{3}{2}$ y $v^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 13

Como $- 2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $v$ es $0$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + 0) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Suma $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $0$ .

$v^{\frac{1}{2}} \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 14.2

Combina $v^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (3 v^{\frac{1}{2}})}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 15

Multiplica $v^{\frac{1}{2}}$ por $v^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.1

Mueve $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 15.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{v^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 15.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{v^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 15.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{v^{\frac{2}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 15.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{v^{1} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 16

Simplifica la expresión.

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Paso 16.1

Simplifica $v^{1} \cdot 3$ .

$\frac{v \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 16.2

Mueve $3$ a la izquierda de $v$ .

$\frac{3 \cdot v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 18

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 19

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 21

Simplifica el numerador.

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Paso 21.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 21.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}})$

Paso 23

Combina $\frac{1}{2}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 24

Mueve $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25

Para escribir $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 26

Combina $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + \frac{(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

Paso 27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

Paso 28

Combina $2$ y $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 29

Cancela el factor común.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 30

Reescribe la expresión.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31

Simplifica.

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Paso 31.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 v + v^{\frac{3}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.2

Simplifica el numerador.

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Paso 31.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 31.2.1.1

Cancela el factor común de $v^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 31.2.1.1.1

Factoriza $v^{\frac{1}{2}}$ de $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 v + v^{\frac{2}{2}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.2.1.2

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{3 v + v^{1} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.2.1.3

Simplifica.

$\frac{3 v + v - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.2.1.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 v + v + \frac{- 2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 v + v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.2.2

Suma $3 v$ y $v$ .

$\frac{4 v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.3

Combina los términos.

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Paso 31.3.1

Factoriza $2$ de $4 v$ .

$\frac{2 (2 v) - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 31.3.2

Factoriza $2$ de $- \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

Paso 31.3.3

Factoriza $2$ de $2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

Paso 31.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 31.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)}$

Paso 31.3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1}$

Paso 31.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 31.3.4.4

Divide $2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$