Cálculo Ejemplos

$a = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ como ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$a = π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d h} (a) = \frac{d}{d h} (π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Como $a$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $a$ con respecto a $h$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $π$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $h$ es $π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ es $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ donde $f (h) = r$ y $g (h) = {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$π (r \frac{d}{d h} [{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ y $g (h) = r^{2} + h^{2}$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 4.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.8.2

Combina fracciones.

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Paso 4.8.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$π (r (\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.8.2.2

Mueve ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$π (r (\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.8.2.3

Combina $\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.8.3

Según la regla de la suma, la derivada de $r^{2} + h^{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{2}$ y $g (h) = r$ .

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Paso 4.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.10

Reescribe $\frac{d}{d h} [r]$ como $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Paso 4.12

Reescribe $\frac{d}{d h} [r]$ como $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Paso 4.13

Simplifica.

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Paso 4.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h)) + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Paso 4.13.2

Combina $\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $π$ .

$\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Paso 4.13.3

Reordena los términos.

$(2 r r' + 2 h) \frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Paso 4.13.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.13.4.1

Multiplica $2 r r' + 2 h$ por $\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 r r' + 2 h) (r π)}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Paso 4.13.4.2

Factoriza $2$ de $(2 r r' + 2 h) (r π)$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Paso 4.13.4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.13.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Paso 4.13.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Paso 4.13.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(r r' + h) (r π)}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Paso 4.13.5

Para escribir $π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(r r' + h) r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.13.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(r r' r + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.2

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 4.13.7.2.1

Mueve $r$ .

$\frac{(r \cdot r r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.2.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{(r^{2} r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.4

Multiplica ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.13.7.4.1

Mueve ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{2}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.4.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.5

Simplifica $π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π (r^{2} + h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + (π r^{2} + π h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π r^{2} r' + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.8

Suma $r^{2} r' π$ y $π r^{2} r'$ .

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Paso 4.13.7.8.1

Reordena $r^{2}$ y $π$ .

$\frac{π r^{2} r' + π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.7.8.2

Suma $π r^{2} r'$ y $π r^{2} r'$ .

$\frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = \frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $r'$

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Paso 6.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r' = 0$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en $r'$ .

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Paso 6.2.1

Resta $h r π$ de ambos lados de la ecuación.

$2 π r^{2} r' + π h^{2} r' = - h r π$

Paso 6.2.2

Factoriza $π r'$ de $2 π r^{2} r' + π h^{2} r'$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $π r'$ de $2 π r^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π h^{2} r' = - h r π$

Paso 6.2.2.2

Factoriza $π r'$ de $π h^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2} = - h r π$

Paso 6.2.2.3

Factoriza $π r'$ de $π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2}$ .

$π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$

Paso 6.2.3

Divide cada término en $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ por $π (2 r^{2} + h^{2})$ y simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Divide cada término en $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ por $π (2 r^{2} + h^{2})$ .

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 6.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Paso 6.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2 r^{2} + h^{2}$ .

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Paso 6.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Divide $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.3.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 6.2.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Paso 6.2.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$r' = \frac{- h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Paso 6.2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r' = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Paso 7

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d h}$ .

$\frac{d r}{d h} = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$