Cálculo Ejemplos

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Paso 1

Sea $y = f (θ)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

Paso 2

Reescribe $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ como $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ .

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Paso 3.2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \ln (θ)$ y $g (θ) = \sec (θ)$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.3.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\sec (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.3.5

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Paso 3.2.4

Evalúa $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

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Paso 3.2.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \ln (θ)$ y $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.2.4.1.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.2.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Paso 3.2.4.2

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

Paso 3.2.4.3

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

Paso 3.2.4.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

Paso 3.2.4.5

Convierte de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ a $\cot (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

Paso 3.2.5

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.5.2.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.5.2.1.1

Reordena $\cos (θ)$ y $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2.1.2

Reescribe $\cos (θ) \sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2.1.3

Cancela los factores comunes.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2.2

Multiplica $\tan (θ)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2.3

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2.4

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Paso 3.2.5.2.7

Reescribe $\cot (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 3.2.5.2.8

Combinar.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Paso 3.2.5.2.9

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ y $\cos^{2} (θ)$ .

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Paso 3.2.5.2.9.1

Factoriza $\cos (θ)$ de $1 \cos (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Paso 3.2.5.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.5.2.9.2.1

Factoriza $\cos (θ)$ de $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Paso 3.2.5.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Paso 3.2.5.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.5.3.1

Convierte de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ a $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Paso 3.2.5.3.2

Separa las fracciones.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Paso 3.2.5.3.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (θ)}$ a $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Paso 3.2.5.3.4

Convierte de $\frac{1}{\sin (θ)}$ a $\csc (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Paso 5.2

Multiplica $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

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Paso 5.2.1

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Paso 5.2.2

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Paso 5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Paso 5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Paso 5.3

Multiplica $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

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Paso 5.3.1

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

Paso 5.3.2

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

Paso 5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

Paso 5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$