Cálculo Ejemplos

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (θ) \tan (θ))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = \sec (θ)$ y $g (y) = \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \frac{d}{d y} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \tan (y)$ y $g (y) = θ$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $θ$ .

$\sec (θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $θ$ .

$\sec (θ) (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Paso 3.3

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sec (θ)}^{2 + 1} \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Paso 3.5

Suma $2$ y $1$ .

$\sec^{3} (θ) \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Paso 3.6

Reescribe $\frac{d}{d y} [θ]$ como $θ'$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sec (y)$ y $g (y) = θ$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $θ$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d y} [θ])$

Paso 3.7.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d y} [θ])$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $θ$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Paso 3.8

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{1} (θ) \tan (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Paso 3.9

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Paso 3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec^{3} (θ) θ' + {\tan (θ)}^{1 + 1} (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Paso 3.11

Suma $1$ y $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Paso 3.12

Reescribe $\frac{d}{d y} [θ]$ como $θ'$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$

Paso 5

Resuelve $θ'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ' = 1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ' = 1$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$ .

$θ' \sec^{3} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ) = 1$

Paso 5.3

Factoriza $θ' \sec (θ)$ de $θ' \sec^{3} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $θ' \sec (θ)$ de $θ' \sec^{3} (θ)$ .

$θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ) = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $θ' \sec (θ)$ de $θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ)$ .

$θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \sec (θ) \tan^{2} (θ) = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $θ' \sec (θ)$ de $θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \sec (θ) \tan^{2} (θ)$ .

$θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$ por $\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$ por $\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))$ .

$\frac{θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $\sec (θ)$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{θ' (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{θ' (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $θ'$ por $1$ .

$θ' = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Separa las fracciones.

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Paso 5.4.3.2

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Paso 5.4.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} (1 \cos (θ))$

Paso 5.4.3.4

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cos (θ)$

Paso 5.4.3.5

Combina $\frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$ y $\cos (θ)$ .

$θ' = \frac{\cos (θ)}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$

Paso 6

Reemplaza $θ'$ con $\frac{d θ}{d y}$ .

$\frac{d θ}{d y} = \frac{\cos (θ)}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$