Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{2}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 2.1.2

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 2.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Como $5^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.13

Combina $5^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.5.1

Reescribe $5^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.5.2

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Paso 3

Mueve el término $\frac{\sqrt{5}}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $0$ .

$0$