Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2 \frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1} d t$

Paso 1

Combina $2$ y $\frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{2 (t^{2} - 1)}{t^{4} - 1} d t$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{t^{2} - 1}{t^{4} - 1} d t$

Paso 3

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 3.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 3.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 3.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{t^{4} - 1}$

Paso 3.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{t^{4} - 1}$

Paso 3.1.1.3

Reescribe $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{{(t^{2})}^{2} - 1}$

Paso 3.1.1.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{{(t^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Paso 3.1.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t^{2} - 1)}$

Paso 3.1.1.6

Simplifica.

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Paso 3.1.1.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t^{2} - 1^{2})}$

Paso 3.1.1.6.2

Factoriza.

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Paso 3.1.1.6.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) ((t + 1) (t - 1))}$

Paso 3.1.1.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$

Paso 3.1.1.7

Reduce la expresión $\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t + 1) (t - 1)}$

Paso 3.1.1.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t - 1}{(t^{2} + 1) (t - 1)}$

Paso 3.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A t + B}{t^{2} + 1}$

Paso 3.1.3

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $C$ .

$\frac{A t + B}{t^{2} + 1} + \frac{C}{t - 1}$

Paso 3.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(t^{2} + 1) (t - 1)$ .

$\frac{(t - 1) (t^{2} + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t - 1)} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.5

Cancela el factor común de $t - 1$ .

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Paso 3.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(t - 1) (t^{2} + 1) (t - 1)}{(t^{2} + 1) (t - 1)} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.6

Cancela el factor común de $t^{2} + 1$ .

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Paso 3.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.6.2

Divide $t - 1$ por $1$ .

$t - 1 = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.7.1

Cancela el factor común de $t^{2} + 1$ .

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Paso 3.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$t - 1 = \frac{(A t + B) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t^{2} + 1} + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.1.2

Divide $(A t + B) (t - 1)$ por $1$ .

$t - 1 = (A t + B) (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.2

Expande $(A t + B) (t - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t - 1 = A t (t - 1) + B (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$t - 1 = A t \cdot t + A t \cdot - 1 + B (t - 1) + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$t - 1 = A t \cdot t + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.7.3.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.7.3.1.1

Mueve $t$ .

$t - 1 = A (t \cdot t) + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.3.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$t - 1 = A t^{2} + A t \cdot - 1 + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 \cdot (A t) + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.3.3

Reescribe $- 1 (A t)$ como $- (A t)$ .

$t - 1 = A t^{2} - (A t) + B t + B \cdot - 1 + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.3.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - 1 \cdot B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.3.5

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.4

Cancela el factor común de $t - 1$ .

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Paso 3.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + \frac{(C) (t^{2} + 1) (t - 1)}{t - 1}$

Paso 3.1.7.4.2

Divide $(C) (t^{2} + 1)$ por $1$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + (C) (t^{2} + 1)$

Paso 3.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + C t^{2} + C \cdot 1$

Paso 3.1.7.6

Multiplica $C$ por $1$ .

$t - 1 = A t^{2} - A t + B t - B + C t^{2} + C$

Paso 3.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.8.1

Mueve $A$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t - B + C t^{2} + C$

Paso 3.1.8.2

Reordena $B$ y $t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t - B + C t^{2} + C$

Paso 3.1.8.3

Mueve $- B$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + B t + C t^{2} - B + C$

Paso 3.1.8.4

Mueve $B t$ .

$t - 1 = A t^{2} - 1 t A + C t^{2} + B t - B + C$

Paso 3.1.8.5

Mueve $- 1 t A$ .

$t - 1 = A t^{2} + C t^{2} - 1 t A + B t - B + C$

Paso 3.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 3.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $t^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + C$

Paso 3.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $t$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A + B$

Paso 3.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $t$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

$0 = A + C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + C$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - C$

$1 = - 1 A + B$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- C$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A + B$ por $- C$ .

$1 = - 1 (- C) + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica $- 1 (- C)$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.2.2.1.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$1 = C + B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.3

Resuelve $C$ en $1 = C + B$ .

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Paso 3.3.3.1

Reescribe la ecuación como $C + B = 1$ .

$C + B = 1$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.3.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 1 - B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

$C = 1 - B$

$A = - C$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $A = - C$ por $1 - B$ .

$A = - (1 - B)$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.2.1

Simplifica $- (1 - B)$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A = - 1 \cdot 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.4.2.1.3

Multiplica $- - B$ .

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Paso 3.3.4.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = - 1 + 1 B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.4.2.1.3.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + C$

Paso 3.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 1 = - 1 B + C$ por $1 - B$ .

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.4.4

Simplifica $- 1 = - 1 B + 1 - B$ .

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Paso 3.3.4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.4.1.1

Elimina los paréntesis.

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 1 B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.4.2.1

Simplifica $- 1 B + 1 - B$ .

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Paso 3.3.4.4.2.1.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$- 1 = - B + 1 - B$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.4.4.2.1.2

Resta $B$ de $- B$ .

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 1 = - 2 B + 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.5

Resuelve $B$ en $- 1 = - 2 B + 1$ .

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Paso 3.3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 B + 1 = - 1$ .

$- 2 B + 1 = - 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 B = - 1 - 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.5.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$- 2 B = - 2$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$- 2 B = - 2$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.5.3

Divide cada término en $- 2 B = - 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.3.5.3.1

Divide cada término en $- 2 B = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.5.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 2}$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.5.3.3.1

Divide $- 2$ por $- 2$ .

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

$B = 1$

$A = - 1 + B$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.6

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - 1 + B$ por $1$ .

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.6.2

Simplifica $A = - 1 + 1$ .

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Paso 3.3.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.6.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = - 1 + 1$

$B = 1$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.6.2.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 1 - B$

Paso 3.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = 1 - B$ por $1$ .

$C = 1 - (1)$

$A = 0$

$B = 1$

Paso 3.3.6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.6.4.1

Simplifica $1 - (1)$ .

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Paso 3.3.6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$C = 1 - 1$

$A = 0$

$B = 1$

Paso 3.3.6.4.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

$C = 0$

$A = 0$

$B = 1$

Paso 3.3.7

Enumera todas las soluciones.

$C = 0, A = 0, B = 1$

Paso 3.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A t + B}{t^{2} + 1} + \frac{C}{t - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{0 t + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{(0) \cdot t + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $0$ por $t$ .

$\frac{0 + 1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

Paso 3.5.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{t^{2} + 1} + \frac{0}{t - 1}$

Paso 3.5.3

Divide $0$ por $t - 1$ .

$\frac{1}{t^{2} + 1} + 0$

Paso 3.5.4

Elimina el cero de la expresión.

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Reordena $t^{2}$ y $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1 + t^{2}} d t$

Paso 4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ con respecto a $t$ es $\arctan (t)]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

$2 (\arctan (t)]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}})$

Paso 6

Evalúa $\arctan (t)$ en $\frac{1}{\sqrt{3}}$ y en $0$ .

$2 (\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}}) - \arctan (0))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Evalúa $\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

$2 (\frac{π}{6} - \arctan (0))$

Paso 7.1.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - 0)$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{π}{6} + 0)$

Paso 7.2

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$2 \frac{π}{6}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)}$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 7.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{3}$

Forma decimal:

$1.04719755 \dots$

Paso 9