Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $2 x^{\frac{1}{2}}$ en $t$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Paso 5.2

Como la función $t^{\frac{1}{2}}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $2$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 5.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $2$ eliminado.

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Paso 5.2.2

Reescribe $t^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

Paso 5.2.3

A medida que $t$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

Paso 5.3

Evalúa el límite.

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Paso 5.3.1

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\infty - 1 \cdot 2$

Paso 5.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\infty - 2$

Paso 5.3.2.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\infty$