Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{12}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \csc (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \csc (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Paso 1.1.3.4.2

Reordena los factores de $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \csc (2 x)$ .

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{12})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 (6)})$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Paso 1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{6})$ es $2$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \csc (2 x)$ .

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{4})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 (2)})$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{2}^{1}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- \frac{1}{2} u_{2}$ en $1$ y en $2$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 2$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} + 1$

Paso 4.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

Paso 4.2.6

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$